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Matemática (muito) avançada

 

"Victor Kac, do MIT, um dos pesquisadores que mais tem contribuído para a álgebra moderna, apresenta na USP curso sobre álgebra de vértices, estruturas matemáticas que prometem desvendar mistérios da física quântica"

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Agência FAPESP – O desenvolvimento da teoria quântica dos campos, uma área relativamente nova da física, é crucial para descrever interações fundamentais da matéria. Mas a tarefa não é fácil, pois ainda faltam ferramentas matemáticas adequadas para lidar com essa teoria, em plena construção.

Conceber esse tipo de ferramentas é uma das principais especialidades do matemático russo naturalizado norte-americano Victor Kac, professor do Instituto de Tecnologia de Massachussets (MIT). Em visita de um mês ao Brasil, Kac é considerado um dos matemáticos que mais têm contribuído para o desenvolvimento da álgebra moderna.

Kac (pronuncia-se “Katz”) começou, na última semana, a ministrar, no Instituto de Matemática e Estatística (IME) da Universidade de São Paulo (USP), o curso “Álgebras de vértices e suas aplicações em matemática e física”, organizado pelos professores do IME Frank Michael Forger e Vyacheslav Futorny.

“A matemática fornece ferramentas para entender os modelos usados na física. Entre elas as álgebras de vértices, estruturas matemáticas que têm um papel importante na teoria dos campos e outras áreas da física e da matemática”, disse Kac à Agência FAPESP.

De acordo com Futorny, Kac é um dos principais especialistas nessa conexão entre matemática e física. “As álgebras de vértices são um instrumento matemático apropriado para a teoria quântica dos campos da física. Algumas das estruturas matemáticas mais importantes nesse contexto foram descobertas pelo professor Kac, como as álgebras de Kac-Moody”, explicou.

Segundo Kac, a teoria quântica dos campos é uma aplicação conjunta da mecânica quântica e da relatividade, que fornece uma estrutura teórica usada na física das partículas e também da matéria condensada.

“É uma teoria com grande potencial unificador, porque combina álgebra, geometria, análise, equações diferenciais e topologia – em suma, todos os campos da matemática. Essas conexões são importantes, porque podem ajudar a conciliar previsões teóricas e observações experimentais”, disse Kac.

O mesmo se aplica, segundo Kac, a outro campo teórico relacionado, que também está em desenvolvimento: a teoria das cordas. “A teoria da gravidade não é parte da teoria quântica. A teoria das cordas concilia ambas, abrangendo todas as forças do universo”, explicou.

De acordo com Forger, no entanto, a teoria quântica dos campos é ainda bastante desconhecida, embora tenha começado a se desenvolver a partir de 1905, quando Albert Einstein propôs o conceito de fóton – a primeira partícula quântica.

“É uma área que ainda não está fechada, mas é uma das bases da física moderna, pois descreve todas as interações fundamentais da matéria – exceto a gravitação – no contexto quântico. No entanto, sua compreensão completa ainda está além do nosso alcance”, disse Forger.


Laboratório teórico

Segundo Forger, as álgebras de vértices aparecem em “modelos bidimensionais”: modelos simplificados da teoria quântica dos campos que funcionam como um “laboratório teórico”. Ao reduzir o espaço a uma única dimensão, simplificam-se as equações, o que possibilita avanços teóricos. No entanto, apesar dessa simplificação, as álgebras de vértices constituem estruturas de altíssima complexidade.

“Com tal redução, criamos modelos que talvez não sejam realistas para análise direta da natureza, mas que ajudam a entender aspectos estruturais da teoria quântica dos campos. Eles têm um potencial interdisciplinar que aumenta muito a capacidade inovadora da pesquisa”, disse.

Segundo Futorny, embora desenvolvida em resposta aos desafios da teoria quântica dos campos, a teoria das álgebras de vértices tem aplicações em outras áreas da matemática, tais como álgebra, equações diferenciais e geometria.

“Como já ocorreu tantas vezes na história da ciência, novas estruturas matemáticas são encontradas em um fenômeno físico, estudadas à parte e depois encontradas em outros locais que antes não poderíamos imaginar”, destacou.

Todos concordam, no entanto, que os pesquisadores ainda têm pela frente um caminho longo e cheio de surpresas. “Quando Isaac Newton e Gottfried Leibniz inventaram o cálculo diferencial e integral, no século 17, não se imaginava seu impacto no futuro. De modo semelhante, não podemos prever hoje aonde o desenvolvimento da teoria quântica dos campos nos levará, mas há grande expectativa”, afirmou Forger.

Por enquanto, para Kac, o principal é disseminar a física matemática entre estudantes e pesquisadores. “Por isso, achei importante apresentar esse curso no Brasil. A idéia é fomentar o interesse nesse campo de estudos, aproveitando que no país há um desenvolvimento fantástico da matemática, mas principalmente em áreas como sistemas dinâmicos”, disse o professor do MIT.

O curso de nove aulas, iniciado na semana passada no IME, é oferecido por meio do programa Escola de Altos Estudos da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e prosseguirá até o dia 24 de agosto. As aulas estarão disponíveis em vídeo no site do IME.

Nascido na Rússia, Kac estudou na Universidade de Moscou e trabalha como professor do MIT desde 1977. Publicou mais de 160 artigos científicos, criou a teoria das álgebras de Kac-Moody, desenvolveu a teoria de representações de peso máximo para álgebras de dimensão infinita, a teoria das superálgebras de Lie, a teoria dos sistemas infinitos de raízes e a teoria das álgebras de vértices, entre dezenas de outras contribuições.

Autor de sete livros, incluindo Álgebras de vértices para iniciantes, Kac foi agraciado com


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